Théorie des nombres (2010–2011)

Liste des cours

1. Rappels sur les anneaux, anneaux factoriels, nombres algébriques (8 septembre 2010)
2. Anneau des entiers algébriques, entiers d’un corps quadratique (15 septembre 2010)
3. Cas où l’anneau des entiers d’un corps quadratique imaginaire est euclidien, équation diophantienne y²+4=z³ (22 septembre 2010)
4. L’anneau des entiers d’un corps de nombre est un ℤ-module libre, calcul d’une base, exemple de l’anneau des entiers de ℚ(5^1/3) (29 septembre 2010)
5. Réseaux, théorème de Minkowski (6 octobre 2010)
6. Applications du théorème de Minkowski : théorème des deux carrés (et généralisation : quels entiers sont somme de deux carrés ?), théorème des quatre carrés ; équation de Pell-Fermat : présentation du problème (13 octobre 2010)
7. Équation de Pell-Fermat, théorème des unités de Dirichlet (sans démonstration), fractions continues (3 novembre 2010)
8. Fractions continues, réduction des formes quadratiques de discriminant positif, algorithme pour les équations de Pell-Fermat (10 novembre 2010)
9. Propriétés élémentaires des corps finis, symbole de Legendre, réciprocité quadratique (17 novembre 2010)
10. Réciprocité quadratique, symbole de Jacobi, tests de primalité (24 novembre 2010)
11. Fonction ζ de Riemann, produit eulérien, valeur aux entiers, prolongement analytique et équation fonctionnelle, théorème des nombres premiers, fonctions L de Dirichlet, théorème de la progression arithmétique (1^er décembre 2010, 8h)
12. Tests de primalité : test de Solovay-Strassen, test de Rabin-Miller, test de Pocklington-Lehmer (1^er décembre 2010)

Bibliographie

• Ian Stewart, David Tall, Algebraic Number Theory
• Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres
• G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers
• Henri Cohen, A Course in Computational Algebraic Number Theory
• Alan Baker, A Concise Introduction to the Theory of Numbers
• David A. Cox, Primes of the Form x²+ny²: Fermat, Class Field Theory, and Complex Multiplication
• Duncan A. Buell, Binary Quadratic Forms
• Jean-Pierre Serre, Cours d’arithmétique
• S. Saks et A. Zygmund, Fonctions analytiques
• Daniel Perrin, Cours d’algèbre
• Serge Lang, Algebra

Travaux dirigés

Les travaux dirigés sont assurés par Christophe Mourougane et Matthieu Calvez.

Les sujets sont disponibles sur la page de Christophe Mourougane.

Contrôle continu

• Interrogation 1 (6 octobre 2010), corrigé
• Interrogation 2 (19 novembre 2010), corrigé
• Interrogation 3 (1^er décembre 2010), corrigé

Examen terminal

La première session de l’examen a eu lieu le 17 décembre 2010. En voici le sujet et un corrigé.

La seconde session a eu lieu le 10 juin 2011. En voici le sujet et un corrigé.

Cours des années précédentes

• 2009–2010 : cours de Jean-Pierre Escofier (page du cours)
• 2008–2009 : cours de Jean-Pierre Escofier
• 2007–2008 : cours d’Antoine Chambert-Loir (page du cours, polycopié)
• 2006–2007 : cours de Pascal Autissier (page du cours)
• 2005–2006 : cours de Pascal Autissier (page du cours)
• 2004–2005 : polycopié du cours de Laurent Moret-Bailly et Bas Edixhoven