Théorie algébrique des nombres 1 (2013–2014)

Ce cours fait suite au cours de théorie des nombres de M1 et précède le cours Théorie algébrique des nombres 2 de Yongquan Hu (胡永泉) au deuxième semestre.

La page du cours 2014-2015 est ici.

Liste des cours

Les cours ont eu lieu en salle 319 du bâtiment 2A, le lundi à  et le mercredi à .

  1. Rappels d’algèbre commutative : localisation, radical d’un idéal ; décomposition primaire ()
  2. Décomposition primaire dans les anneaux nœthériens ; anneaux de dimension 1 ; anneaux de valuation discrète ; anneaux de Dedekind ()
  3. Anneaux de Dedekind, cas de l’anneau des entiers d’un corps de nombres ; idéaux fractionnaires ()
  4. Idéaux fractionnaires, groupe des classes, borne de Minkowski et finitude du groupe des classes ; calcul du groupe des classes de ℚ(√-13) ()
  5. Application aux nombres premiers représentés par x2+13y2 ; extensions ; norme relative d’un idéal ()
  6. Discriminant, différente et ramification ; exemple de ℚ(√7,√10) ()
  7. Exemple de ℚ(√7,√10) (suite) ; extensions galoisiennes ; automorphisme de Frobenius et symbole d’Artin ; corps quadratiques ()
  8. Corps quadratiques (suite) ; interrogation ()
  9. Formes quadratiques et groupe de classes ; corps cyclotomiques ()
  10. Corps cyclotomiques (suite), application au théorème de Fermat ()
  11. Application au théorème de Fermat (suite), réciprocité quadratique ; valeurs absolues, théorème d’Ostrowski et complétions ; loi de réciprocité d’Artin ()
  12. Lois de réciprocité ; théorème d’existence, théorème de Kronecker-Weber, corps de classes de Hilbert ; fonctions ζ et L de corps de nombres, formule du nombre de classes ; théorème de Chebotarev (Чеботарёв) ()

Contrôle continu

Interrogation du  : sujet et corrigé.

Un oral a eu lieu le .

Bibliographie