Théorie algébrique des nombres 1 (2014–2015)

Ce cours fait suite au cours de théorie des nombres de M1 et précède le cours Théorie algébrique des nombres 2 de Yongquan Hu (胡永泉) au deuxième semestre.

La page du cours de l’an dernier est ici.

Antonin Riffaut a mis en ligne ses notes de cours cette année.

Liste des cours

Les cours ont eu lieu le lundi à  et le mercredi à .

  1. Rappels sur les corps de nombres ; compléments d’algèbre commutative : localisation, radical d’un idéal, anneaux de valuation discrète ; idéaux primaires ()
  2. Décomposition primaire, anneaux de dimension 1, anneaux de Dedekind ()
  3. Anneaux de Dedekind, cas de l’anneau des entiers d’un corps de nombres ()
  4. Idéaux fractionnaires, groupe des classes, borne de Minkowski et finitude du groupe des classes ()
  5. Calcul du groupe des classes de ℚ(√-13), application aux nombres premiers représentés par x2+13y2 ; factorisation et extensions de corps ; norme relative d’un idéal ()
  6. Norme relative d’un idéal (suite) ; discriminant, différente et ramification ()
  7. Exemple de ℚ(√7,√10) ; extensions galoisiennes ; automorphisme de Frobenius et symbole d’Artin ()
  8. Interrogation ; corps quadratiques, formes quadratiques et groupe des classes ()
  9. Corps cyclotomiques ()
  10. Application au théorème de Fermat ; réciprocité quadratique ; valeurs absolues et théorème d’Ostrowski ()
  11. Complétions ; loi de réciprocité d’Artin ; lois de réciprocité et réciprocité d’Artin ; théorème d’existence, théorème de Kronecker-Weber ()
  12. Corps de classes de Hilbert ; fonctions ζ et L de corps de nombres, formule du nombre de classes ; théorème de Chebotarev (Чеботарёв) ; fonction ζ de Kubota-Leopoldt ()

Contrôle continu

Une interrogation a eu lieu le . En voici le sujet et un corrigé.

Un oral aura lieu le .

Bibliographie