Géométrie et isométries (2015–2016)
Lionel Fourquaux
Le cours a été fait par
Florian Ivorra.
En 2016-2017, ce cours sera fait par
Bachir Bekka.
Les étudiants qui souhaitent suivre ce module sont vivement encouragés
à lire ce document de présentation et à essayer
de faire le test de prérequis qui l’accompagne.
Cours
- Introduction, produits scalaires : définition et exemples,
inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski
- Cas d’égalité, notion de norme, norme euclidienne, orthogonalité,
familles orthogonales et orthonormés, procédé d’orthonormalisation de
Schmidt
- Procédé d’orthonormalisation de Schmidt (suite), bases
orthogonales et bases orthonormées, dimension de l’orthogonal, somme et
intersection d’orthogonaux, matrice d’une forme bilinéaire
- Applications orthogonales, groupe orthogonal, rappels sur les
changements de base
- Matrices orthogonales, rappels sur les sommes directes
- Rappels sur les sommes directes et sommes directes orthogonales
- Sous-espaces stables par une isométrie vectorielle
- Groupe orthogonal en dimensions 1 et 2, forme normale d’une
isométrie, projecteurs et symétries orthogonales
- Décomposition d’une isométrie en produit de réflexions, orientation
d’un espace vectoriel euclidien
- Angle de deux demi-droites vectorielles, mesure d’un angle
- Espaces affines, rappels sur les actions de groupes, vectorialisé
d’un espace vectoriel
- Applications affines, partie linéaire, translations, injectivité
et surjectivité des applications affines, applications affines entre
deux espaces vectoriels
- Sous-espaces affines, intersection, image et image inverse d’un
sous-espace affine par une application affine
- Points fixes d'une application affine, sous-espace affine engendré par
une partie, parallélisme, projections affines, théorème de Thalès
- Projections affines (suite), symétries affines
- Barycentres, fonction vectorielle de Leibniz, associativité du
barycentre ; espace affine euclidien
- Isométries d’un espace affine euclidien
- Classification des isométries affines en dimensions 2 et 3
Contrôle continu
Il y aura deux ou trois interrogations au cours du semestre.
Examen
La première session a eu lieu en décembre.
La deuxième session aura lieu le 21 juin.
Cours des années précédentes
Les pages des cours des années précédentes sont ici :