Algèbre et géométrie 1 (2017–2018) — Groupe 1

Cette page concerne un cours donné en 2017. Pour le cours d'Algèbre et géométrie 1 de l'année 2018–2019, consultez la page enseignement de Bernard Le Stum.

Cette page héberge les informations spécifiques au groupe 1. Pour les informations concernant tous les groupes, veuillez consulter la page de David Bourqui (responsable du module).

Documents du cours

Feuilles de TD

Ceci est une copie des feuilles disponibles sur la page du module.

  1. Logique
  2. Ensembles
  3. Nombres complexes
  4. Géométrie
  5. Arithmétique

Sujets de contrôle

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Documents divers

Avancement du cours

  1.  : formules logiques sans quantificateurs, opérateurs ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔, tables de vérité, tautologies, méthodes de démonstration, démonstration par l’absurde, réciproque et contraposée d’une implication, démonstration par contraposition ; quantificateurs existentiel et universel, démonstration d’une formule avec quantificateurs, négation d’une formule ; TD1 exercices 1.1, 1.2, 1.4, 4 ; à faire pour le cours suivant : TD1 exercices 1.3, 1.5, 2, 3, 5, 6, 8
  2.  : ordre des quantificateurs ; existence et unicité ; raisonnement par récurrence ; TD1 exercices 1 (sans table de vérité), 3, 5, 7, 8.a, 8.b ; à faire pour la semaine suivante : TD1 exercices 11 à 22
  3.  : récurrence forte ; ensembles, appartenance, inclusion et sous-ensembles ; double inclusion ; ensemble des parties ; réunion, intersection, différence et complémentaire, différence symétrique, produit cartésien ; applications, graphe ; TD1 exercice 12, TD2 exercice 8.2
  4.  : restriction et prolongements d’une application, corestriction ; images directe et réciproque d’un sous-ensemble par une application ; injectivité, surjectivité et bijectivité ; composition d’applications ; application réciproque d’une bijection ; TD2 exercice 2 ; à faire pour la semaine suivante : TD2 exercices 1 à 8
  5.  : image réciproque et image par l’application réciproque d’une bijection ; TD2 exercices 3, 4.1, 5.1, 8
  6.  : injectivité et surjectivité de la composée de deux applications, application réciproque de la composée de deux bijections ; TD2 exercices 12, 17.1.a, 17.1.b ; contrôle ; à faire pour la semaine suivante : TD2 exercice 17 (images directe et réciproque d’une intersection ou d’une réunion)
  7.  : famille d’éléments d’un ensemble ; ensemble fini ; somme et produit d’une famille finie ; intersection, réunion et produit cartésien d’une famille de sous-ensembles ; fonction indicatrice d’un sous-ensemble ; théorème de Cantor-Bernstein (et variante avec des surjections) ; lien entre récurrence et bon ordre de ℕ ; TD1 exercice 15 ; TD2 exercices 11.1 et 15 ; à faire pour le cours suivant : TD2 exercices 17 et 30, puis finir la feuille TD2 dans la semaine
  8.  : TD2 exercices 16, 17 et 18 ; à faire pour le cours suivant : TD2 exercice 22
  9.  : nombres complexes, structure de corps, parties réelle et imaginaire, conjugaison, module ; TD2 exercices 22 et 28 ; à faire pour le cours suivant : TD2 exercice 29 et TD3 exercice 1
  10.  : compatibilité de la conjugaison complexe avec l’addition et la multiplication ; module d’un produit ; inégalité triangulaire et cas d’égalité ; rappel sur les équations du second degré ; affixe d’un point ; triangle de Pascal, formule du binôme ; TD2 exercice 29, TD3 exercices 1 et 4 ; à faire pour le cours suivant : TD2 exercice 27, TD3 exercice 5
  11.  : retour sur les coefficients binomiaux et les factorielles ; racines carrées d’un nombre complexe ; racines d’un polynôme de degré 2 à coefficients complexes
  12.  : exponentielle complexe : définition, exponentielle d’une somme, module de l’exponentielle ; écriture d’un nombre complexe sous forme polaire ; applications à la trigonométrie : formules d’Euler, formules d’addition pour sin et cos, linéarisation d’un polynôme trigonométrique, factorisation d’une somme de deux cosinus, de deux sinus ou d’un sinus et d’un cosinus, formule de Moivre ; fonctions tangente et cotangente
  13.  : TD3 exercices 5.1, 5.3, 6, 7, 11.1 et 11.2 ; à faire pour le cours suivant : TD3 exercices 8, 11.3 et 12
  14.  : racines de l’unité, calcul des racines n-ièmes d’un nombre complexe ; factorisation de 1±eiθ, calcul de ∑cos(kθ) ; rappels sur les sommes télescopiques ; TD3 exercice 12 ; à faire pour le cours suivant : TD3 exercice 13
  15.  : A cos(t-φ) ; exp(z)=a ; TD3 exercices 11.3 et 13 ; à faire pour le cours suivant : finir la feuille TD3
  16.  : factorisation de an-bn ; ∑k, ∑k2 ; colinéarité, familles de vecteurs liées ; droites et vecteurs directeurs
  17.  : droites parallèles, théorème de Thalès
  18.  : barycentre, segments, associativité du barycentre, concourance des médianes d’un triangle ; produit scalaire, orthogonalité, norme d’un vecteur, longueur d’un segment, distance, théorème de Pythagore ; TD4 exercices 9 et 11 ; à chercher pour le cours suivant : TD4 exercices 10 à 26
  19.  : orthogonalité et parallélisme ; inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité triangulaire ; TD4 exercices 1, 3, 7.1, 7.2 et 7.3 ; à chercher pour vendredi : TD4 exercices 2, 4, 5, 7
  20.  : inégalité triangulaire ; angle géométrique, sommes d’angles, somme des angles d’un triangle ; déterminant ; contrôle
  21.  : propriété du déterminant, changement de base, lien entre déterminant et sinus ; formules de polarisation ; affixe d’un point ou d’un vecteur, angles et argument d’un nombre complexe, angles orientés ; TD4 exercices 6, 21.1 et 22
  22.  : angles orientés ; isométries, similitudes, homothéties (définition géométrique) ; description des similitudes planes à l'aide des nombres complexes ; similitudes directes et indirectes, rotations ; composition de similitudes ; éléments caractéristiques ; TD4 exercices 27.1 et 27.2 ; à chercher pour le cours suivant : TD4 exercice 28
  23.  : classification des similitudes directes et indirectes ; descriptions paramétrique et implicite d’une courbe ; TD4 exercices 27.3, 27.4 et 32 ; à chercher pour le cours suivant : TD4 exercices 31, 34 et 36
  24.  : composition de similitudes ; description des homothéties à l’aide des nombres complexes ; équations de droites et distance d’un point à une droite ; utilisation du déterminant pour le calcul de la distance d’un point à une droite ; TD4 exercices 31, 34.1, 46 et 47 ; à chercher pour le cours suivant : TD4 exercices 51, 27 à 45
  25.  : descriptions paramétriques et implicites de plans et de droites dans l’espace ; produit vectoriel ; opérations sur les lignes d’un système d’équations linéaires ; cas d’isométrie des triangles ; relations de divisibilité et de congruence ; TD4 exercices 51 et 54.
  26.  : propriétés des relations de divisibilité et de congruence ; division euclidienne ; PGCD, algorithme d’Euclide ; relation de Bézout
  27.  : algorithme d’Euclide étendu ; inversion modulaire ; lemme de Gauß ; PPCM ; nombres premiers ; factorisation des nombres entiers (existence) ; TD5 exercices 1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 14 et 15 ; à chercher pour le cours suivant : TD5 exercices 13, 17, 18 et 19
  28.  : lemme d’Euclide, unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers ; valuations p-adiques ; crible d’Ératosthène ; petit théorème de Fermat ; TD5 exercice 18
  29.  : TD5 exercice 19, TD4 exercices 33.1 et 40
  30.  : lien entre valuations p-adiques, divisibilité, PGCD et PPCM ; construction des entiers naturels ; TD4 exercices 29 et 48, TD5 exercice 24 ; contrôle ; à chercher pour la prochaine fois : TD5 exercices 27 et 28
  31.  : projection orthogonale et symétrie axiale ; TD5 exercice 27 ; exercices 2, 3 et 4 de l’examen d’AR1 2016 ; à chercher pour la prochaine fois : TD5 exercice 8
  32.  : révisions sur la composition des similitudes ; relations d’ordre et relations d’équivalence ; TD4 exercices 16, 37 et 42, TD5 exercice 8
  33.  : numération ; TD4 exercice 28 ; exercices divers