Cette page concerne un cours donné en 2017. Pour le cours d'Algèbre et
géométrie 1 de l'année 2018–2019, consultez la
page
enseignement de
Bernard
Le Stum.
Cette page héberge les informations spécifiques
au groupe 1. Pour les informations concernant tous les groupes, veuillez
consulter la
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de David Bourqui
(responsable du module).
Documents du cours
Feuilles de TD
Ceci est une copie des feuilles disponibles sur la
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du module.
:
formules logiques sans quantificateurs, opérateurs ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔, tables de
vérité, tautologies, méthodes de démonstration, démonstration par l’absurde,
réciproque et contraposée d’une implication, démonstration par contraposition ;
quantificateurs existentiel et universel, démonstration d’une formule avec
quantificateurs, négation d’une formule ; TD1 exercices 1.1, 1.2, 1.4, 4 ;
à faire pour le cours suivant : TD1 exercices 1.3, 1.5, 2, 3, 5, 6, 8
:
ordre des quantificateurs ; existence et unicité ; raisonnement par
récurrence ; TD1 exercices 1 (sans table de vérité), 3, 5, 7, 8.a, 8.b ;
à faire pour la semaine suivante : TD1 exercices 11 à 22
:
récurrence forte ; ensembles, appartenance, inclusion et sous-ensembles ;
double inclusion ; ensemble des parties ; réunion, intersection, différence
et complémentaire, différence symétrique, produit cartésien ; applications,
graphe ; TD1 exercice 12, TD2 exercice 8.2
:
restriction et prolongements d’une application, corestriction ; images
directe et réciproque d’un sous-ensemble par une application ; injectivité,
surjectivité et bijectivité ; composition d’applications ; application
réciproque d’une bijection ; TD2 exercice 2 ; à faire pour la semaine
suivante : TD2 exercices 1 à 8
:
image réciproque et image par l’application réciproque d’une bijection ;
TD2 exercices 3, 4.1, 5.1, 8
:
injectivité et surjectivité de la composée de deux applications,
application réciproque de la composée de deux bijections ; TD2 exercices 12,
17.1.a, 17.1.b ; contrôle ; à faire pour la semaine
suivante : TD2 exercice 17 (images directe et réciproque d’une intersection
ou d’une réunion)
:
famille d’éléments d’un ensemble ; ensemble fini ; somme et produit d’une
famille finie ; intersection, réunion et produit cartésien d’une famille
de sous-ensembles ; fonction indicatrice d’un sous-ensemble ; théorème de
Cantor-Bernstein (et variante avec des surjections) ; lien entre récurrence
et bon ordre de ℕ ; TD1 exercice 15 ;
TD2 exercices 11.1 et 15 ; à faire pour le cours suivant : TD2 exercices 17
et 30, puis finir la feuille TD2 dans la semaine
:
TD2 exercices 16, 17 et 18 ; à faire pour le cours suivant :
TD2 exercice 22
:
nombres complexes, structure de corps, parties réelle et imaginaire,
conjugaison, module ; TD2 exercices 22 et 28 ; à faire pour le cours suivant :
TD2 exercice 29 et TD3 exercice 1
:
compatibilité de la conjugaison complexe avec l’addition et la multiplication ;
module d’un produit ; inégalité triangulaire et cas d’égalité ; rappel sur
les équations du second degré ; affixe d’un point ; triangle de Pascal,
formule du binôme ; TD2 exercice 29, TD3 exercices 1 et 4 ; à faire pour le
cours suivant : TD2 exercice 27, TD3 exercice 5
:
retour sur les coefficients binomiaux et les factorielles ; racines carrées
d’un nombre complexe ; racines d’un polynôme de degré 2 à coefficients
complexes
:
exponentielle complexe : définition, exponentielle d’une somme, module de
l’exponentielle ; écriture d’un nombre complexe sous forme polaire ;
applications à la trigonométrie : formules d’Euler, formules d’addition
pour sin et cos,
linéarisation d’un polynôme trigonométrique, factorisation d’une somme
de deux cosinus, de deux sinus ou d’un sinus et d’un cosinus, formule de
Moivre ; fonctions tangente et cotangente
:
TD3 exercices 5.1, 5.3, 6, 7, 11.1 et 11.2 ; à faire pour le cours suivant :
TD3 exercices 8, 11.3 et 12
:
racines de l’unité, calcul des racines n-ièmes
d’un nombre complexe ; factorisation de
1±eiθ, calcul de
∑cos(kθ) ; rappels sur les sommes télescopiques ;
TD3 exercice 12 ; à faire pour le cours suivant : TD3 exercice 13
:
A cos(t-φ) ; exp(z)=a ;
TD3 exercices 11.3 et 13 ; à faire pour le cours suivant : finir la
feuille TD3
:
factorisation de an-bn ;
∑k, ∑k2 ;
colinéarité, familles de vecteurs liées ; droites et vecteurs directeurs
:
droites parallèles, théorème de Thalès
:
barycentre, segments, associativité du barycentre, concourance des médianes
d’un triangle ; produit scalaire, orthogonalité, norme d’un vecteur, longueur
d’un segment, distance, théorème de Pythagore ; TD4 exercices 9 et 11 ;
à chercher pour le cours suivant : TD4 exercices 10 à 26
:
orthogonalité et parallélisme ; inégalité de Cauchy-Schwarz, inégalité
triangulaire ; TD4 exercices 1, 3, 7.1, 7.2 et 7.3 ; à chercher pour vendredi :
TD4 exercices 2, 4, 5, 7
:
inégalité triangulaire ; angle géométrique, sommes d’angles, somme des angles
d’un triangle ; déterminant ; contrôle
:
propriété du déterminant, changement de base, lien entre déterminant et sinus ;
formules de polarisation ; affixe d’un point ou d’un vecteur, angles et
argument d’un nombre complexe, angles orientés ; TD4 exercices 6, 21.1
et 22
:
angles orientés ; isométries, similitudes, homothéties (définition
géométrique) ; description des similitudes planes à l'aide des nombres
complexes ; similitudes directes et indirectes, rotations ; composition de
similitudes ; éléments caractéristiques ; TD4 exercices 27.1 et 27.2 ;
à chercher pour le cours suivant : TD4 exercice 28
:
classification des similitudes directes et indirectes ; descriptions
paramétrique et implicite d’une courbe ; TD4 exercices 27.3, 27.4 et 32 ;
à chercher pour le cours suivant : TD4 exercices 31, 34 et 36
:
composition de similitudes ; description des homothéties à l’aide des
nombres complexes ; équations de droites et distance d’un point à une
droite ; utilisation du déterminant pour le calcul de la distance d’un
point à une droite ; TD4 exercices 31, 34.1, 46 et 47 ; à chercher pour le
cours suivant : TD4 exercices 51, 27 à 45
:
descriptions paramétriques et implicites de plans et de droites dans
l’espace ; produit vectoriel ; opérations sur les lignes d’un système
d’équations linéaires ; cas d’isométrie des triangles ; relations
de divisibilité et de congruence ; TD4 exercices 51 et 54.
:
propriétés des relations de divisibilité et de congruence ; division
euclidienne ; PGCD,
algorithme d’Euclide ; relation de Bézout
:
algorithme d’Euclide étendu ; inversion modulaire ; lemme de Gauß ;
PPCM ; nombres premiers ;
factorisation des nombres entiers (existence) ; TD5 exercices 1, 2, 3, 4,
5, 6, 12, 14 et 15 ; à chercher pour le cours suivant : TD5 exercices 13,
17, 18 et 19
:
lemme d’Euclide, unicité de la décomposition en produit de facteurs premiers ;
valuations p-adiques ; crible d’Ératosthène ; petit théorème de Fermat ;
TD5 exercice 18
:
TD5 exercice 19, TD4 exercices 33.1 et 40
:
lien entre valuations p-adiques, divisibilité,
PGCD et
PPCM ; construction des
entiers naturels ; TD4 exercices 29 et 48, TD5 exercice 24 ;
contrôle ; à chercher pour la prochaine fois :
TD5 exercices 27 et 28
:
projection orthogonale et symétrie axiale ; TD5 exercice 27 ; exercices
2, 3 et 4 de l’examen d’AR1 2016 ; à chercher pour la prochaine fois :
TD5 exercice 8
:
révisions sur la composition des similitudes ; relations d’ordre et relations
d’équivalence ; TD4 exercices 16, 37 et 42, TD5 exercice 8